TEMA 1: Introducción a los procesos estocásticos: Procesos de saltos puros

Los procesos de saltos puros son procesos de estados discretos que suceden en tiempo continuo. Es decir, que pueden suceder en cualquier instante de tiempo.

Son ejemplos de procesos de saltos puros, el número de unidades de producto vendidas en tiempo real o el número de trabajadores en plantilla de una compañía en tiempo real.

Proceso de Conteo

Un proceso estocástico en tiempo continuo  {N(t), t≥0}  es un proceso de Conteo si representa el número de veces que ocurre un suceso hasta el instante de tiempo t.

Con esta descripción, en un proceso de conteo tendremos que:

N(t), t \in  \mathbb{N}  

N(s) \leq N(t), \forall s<t  .

Ejemplo.- El número de ventas de una compañía.

Proceso de Poisson

Un proceso de conteo es un Proceso de Poisson con tasa λ > 0, si se cumple que:

1. N(0)=0, es decir, empieza en cero.

2. Los incrementos del proceso

N(t_1 )-N(t_0 ), N(t_2 )-N(t_1 ), …, N(t_n )-N(t_(n-1) )

son variables aleatorias independientes. Se dice que es un proceso de incrementos independientes.

3. El número de sucesos que suceden entre los instantes s y t+s, N(t+s)-N(s), sigue una distribución de Poisson  de parámetro λt.

Ejercicio 4.-

En una central telefónica se reciben llamadas cuyos tiempos de entrada son independientes y siguen una distribución exponencial de parámetro λ = 8 llamadas/hora. De este modo podemos decir que el número de llamadas recibidas puede modelizarse mediante un proceso de Poisson. Si el turno de trabajo comienza a las 9:00 de la mañana, se pide:

a) Calcule el tiempo medio esperado entre llamadas.

b) Calcule la probabilidad de recibir la primera llamada a las 9:45.

c) Calcule la probabilidad de recibir la primera llamada antes de las 9:45.

d) Calcule la probabilidad de no recibir ninguna llamada durante los primeros 6 minutos.

e) Si la telefonista trabaja 8 horas en su turno, ¿Cuántas llamadas recibirá en promedio?

f) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan recibido 70 llamadas en un turno completo?

Ejercicio 4.- Solución

La situación se puede modelizar mediante un proceso de Poisson donde:

T_i \sim Exponencial(8)

N(t+s)-N(s) \sim Poisson (8 \cdot t)

a) Calcule el tiempo medio esperado entre llamadas.

E[T_i ]=1/\lambda=1/8 \  horas=7,5 \  minutos

b) Calcule la probabilidad de recibir la primera llamada a las 9:45.

P(T_1=0,75)=0

La distribución exponencial es continua por lo que las probabilidades puntuales se anulan.

c) Calcule la probabilidad de recibir la primera llamada antes de las 9:45.

P(T_1<0,75)=1-e^{(-8 \cdot 0,75)}=0,9975

d) Probabilidad de no recibir ninguna llamada durante los primeros 6 minutos.

P(T_1>0,1)=1-F(0,1)=1-1+e^{(-8 \cdot 0,1)}=e^{(-0,8)}=0,4493

e) Si la telefonista trabaja 8 horas en su turno, ¿Cuántas llamadas recibirá en promedio?

N(t+s)-N(s) \sim Poisson(8\cdot 8=64)

f) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan recibido 70 llamadas en un turno completo?

P(N(t+8)-N(t)=70)=\frac{e^{-64}\cdot 64^{70}}{70!}=0,036

Ejercicio 5.-

Una tienda de electrodomésticos ha lanzado una oferta para una de las cafeteras que distribuye, de la que cuenta con 15 unidades en stock el día que comienza la oferta. Basándose en la información de ventas sobre ofertas similares se sabe que las compras durante la oferta pueden modelizarse mediante un proceso de Poisson de media 10 compras /día. Teniendo en cuenta que la tienda permanece abierta durante 10 horas al día, se pide:

a) Calcule el tiempo esperado que tardará en realizarse la primera compra.

b) Calcule la probabilidad de que se tarde más de 2 horas en realizar la primera compra.

c) ¿Probabilidad de vender 6 cafeteras en las primeras 5 horas del lunes?

d) ¿Probabilidad de que se termine el stock el primer día de la oferta?

e) Los pedidos a proveedor siempre llegan a primera hora de la mañana y se sabe por experiencia que la probabilidad de que lleguen al día siguiente es de 0,4, la de que tarden dos días 0,4 y la de que tarden tres 0,2. Si se hace un pedido el día que comienza la oferta, ¿cuál es la probabilidad de que la tienda se quede sin stock?

Ejercicio 5.- Solución

De nuevo podemo modelizar la situación mediante un proceso de Poisson donde:

T_i \sim Exponencial(1)

N(t+s)-N(s) \sim Poisson(1 \cdot t)

a)Calcule el tiempo esperado que tardará en realizarse la primera compra.

E[T_i ]=1/ \lambda=1/1 \ horas=1 \ hora

b) Calcule la probabilidad de que se tarde más de 2 horas en realizar la primera compra.

P(T_1>2) = 1-P(T_1\leq 2) = 1-F(2) = 1-(1-e^{(-1 \cdot 2)} ) = 0,1353

c) ¿Probabilidad de vender 6 cafeteras en las primeras 5 horas del lunes?

X=“Número de cafeteras vendidas en las primeras cinco horas”

X=N(t+5)-N(t) \sim Poisson(5)

P(X=6)=\frac{e^(-5) \cdot 5^6}{6!}=0,1462

d) ¿Probabilidad de que se termine el stock el primer día de la oferta?

Y=“Número de cafeteras vendidas el primer día”

Y=N(t+10)-N(t) \sim Poisson(10)

P(Y \geq 15)=1-P(Y<15)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-\cdots -P(Y=14)=1-0,9265=0,08345

e) Los pedidos a proveedor siempre llegan a primera hora de la mañana y se sabe por experiencia que la probabilidad de que lleguen al día siguiente es de 0,4, la de que tarden dos días 0,4 y la de que tarden tres 0,2. Si se hace un pedido el día que comienza la oferta, ¿cuál es la probabilidad de que la tienda se quede sin stock?

Y=“Número de cafeteras vendidas el primer día”: Y \sim Poisson(10)

Z=“Número de cafeteras vendidas en los dos primeros días”: Z \sim Poisson(20)

W=“Número de cafeteras vendidas en los tres primeros días”: W \sim Poisson(30)

$latex P(Agotar el stock) = P(Y \geq 15) \cdot 0,4 + P(Z \geq 15)  \cdot 0,4 + P (W \geq 15) \cdot 0,2 = 0,08345 \cdot 0,4 + 0,8951 \cdot 0,4 +0,9990 \cdot 0,2 = 0,5912 &s=2$