Tema 5a. Números índices.

Número índices simples. Definición y propiedades.

Definición.- Números índices simples

Los números índices simples son aquellos que se refieren únicamente a una variable o fenómeno. Así, al ser estar referidos a variables unidimensionales son meras relaciones porcentuales entre los valores del fenómeno entre los momentos del tiempo a comparar.

Se trata de una metodología que permite estudiar las variaciones de los distintos fenómenos, permitiendo comparar situaciones de distintos momentos del tiempo y/o el espacio. Podemos decir por tanto que las variaciones de un número índice nos indican los cambios de una magnitud que no es susceptible a una medición exacta, ni a una evaluación directa.

Un ejemplo de este tipo de situaciones es la variación de los precios a lo largo del tiempo.

La mayoría de los números índices que se emplean en la práctica están asociados a variables relacionadas con precios, salarios, producción, etc…

Clasificación de los números índices

Antes de continuar definiendo los números índices simples, presentaremos un esquema que muestra una clasificación de los números índices, simples y compuestos, cuyas definiciones iremos desarrollando a lo largo de este documento.

Números índices simples

Los números índices simples son aquellos que se refieren únicamente a una variable o fenómeno. Al estar referidos a variables unidimensionales son meras relaciones porcentuales entre los valores del fenómeno entre los momentos del tiempo a comparar.

Definición.- Números índices simples

Si consideramos una variable a lo largo del tiempo X_t, obtendremos sus índices dividiendo cada valor de la variable (correspondiente a un momento del tiempo) entre el valor de dicha variable en el instante que tomaremos como referencia y denominaremos periodo base (X_0).

I_{t/0}(X)=\frac{X_t}{X_0}

Es habitual definir el índice en términos porcentuales, para ello solo debemos multiplicar por 100 la expresión anterior, es decir,

I_{t/0}(X)=\frac{X_t}{X_0}\times 100

Al calcular un número índice estamos haciendo en realidad un cambio de variable, convirtiendo la magnitud original X_t, en una magnitud I(X). De este modo todos los estadísticos que hayamos obtenido para X_t podrán obtenerse para I(X).

Nos interesará el incremento del índice, que medirá en cada caso la variación porcentual que se ha producido en la magnitud X desde el instante 0 hasta el instante t, y se expresará mediante:

\Delta I_{t/0}(X)=\frac{X_t - X_0}{X_0}\times 100 = \frac{X_t }{X_0}\times 100-100= I_{t/0}(X) - 100.

Si \Delta I_{t/0}(X)=30 podemos decir que la magnitud X se ha incrementado un 30% desde el instante 0 hasta el instante t.

Propiedades de los números índices simples.

1. Identidad

Si el periodo base y el de comparación coinciden el índice toma valor 100.

2. Inversión

Si el periodo base y el de comparación se invierten el índice toma el valor inverso al que tomaba originalmente, es decir,

I_{t/0}(X)=\frac{1}{ I_{0/t}(X)}

3. Propiedad Circular

Si tomamos 3 instantes de tiempo que cumplan la siguiente relación (0<t’<t), para cualquier magnitud X se cumplirá que:

I_{t/0}(X)=I_{t'/0}(X) \times I_{t/t'}(X)

4. Propiedad de encadenamiento

Considerando los instantes de tiempo t=0,1,2,…t, siendo 0<1<2…<t, para cualquier magnitud X se cumplirá que:

I_{t/0}(X)=I_{1/0}(X) \times I_{2/1}(X) \times ... \times I_{t-1/t-2}(X) \times I_{t/t-1}(X)

5. Existencia

El índice tomará valores reales y finitos para cualquier valor de la variable observada.

6. Propiedad del producto

Si consideramos una magnitud compleja Z obtenida como producto entre dos magnitudes simples X e Y, se verifica que:

I_{t/0}(Z)=I_{t/0}(X) \times I_{t/0}(Y)

7. Propiedad del Cociente

Si consideramos una magnitud compleja Z obtenida como cociente entre dos magnitudes simples X e Y, se verifica que:

I_{t/0}(Z)=\frac{I_{t/0}(X)} {I_{t/0}(Y)}

8. Proporcionalidad

Si se produce un cambio de escala en la variable el índice será proporcional al original.

Ejemplo de cálculo de números índices simples

La siguiente tabla incluye los valores del precio del aceite en euros por tonelada a lo largo del tiempo. Obtenga el índice simple asociado a esta magnitud.

T Precio (€/T) I(t/0)(X)
0 3600  100,00
1 3750 104,17
2 3650 101,39
3 3550 98,61
4 3700 102,78
5 3800 105,56
6 3850 106,94

Números índices complejos. Definición.

Definición.- Números índices complejos

Los números índices complejos hacen referencia a varias conceptos a la vez y su evolución en el espacio y/o. Podemos decir que utilizan magnitudes complejas o variables n-dimensionales.

Un ejemplo de número índice complejo sería el IPC que nos aporta información sobre la variación de los productos incluidos en la lista de la compra de la familias españolas.

Si todos los conceptos considerados tienen las misma importancia, se calculan para ellos Índices complejos sin ponderar. Cuando cada concepto tiene distinta importancia debemos emplear Índices complejos ponderados.

Números índices complejos sin ponderar.

Definición.- Números índices complejos sin ponderar

Consideraremos la magnitud compleja H formada por k magnitudes simples {H_1, H_2,…,H_k}. Para analizar la evolución de H debemos tener en cuenta la evolución de todas las magnitudes simples que la componen.

Obtendremos por tanto el índice de H en función de los índices de{H_1, H_2,…,H_k}. Podremos hacerlo mediante sus medias simples (usando la media aritmética, la media geométrica o la media armónica) o bien mediante la media agregativa simple, es decir comparando simplemente las sumas de los distintos valores con el periodo de referencia.

Definición.- Índice de la media aritmética simple

El índice complejo de la media aritmética simple se obtiene mediante la media aritmética de los índices simples, es decir,

I_{t/0} (H) =\frac 1 k \sum_{i=1}^k I_{t/0}(H_i)

Los números índices complejos sin ponderar, presentan las siguientes limitaciones:

  1. La unidades de medida de las distintas magnitudes simples pueden ser diferentes, lo que nos impedirá hacer comparaciones entre distintos índices.
  2. Dan la misma importancia a cada magnitud simple.

Ejemplo de cálculo del número índice de la media aritmética simple

Una empresa fábrica un producto de coste H que depende de 3 componentes con la misma importancia relativa y costes H_1, H_2H_3. Calcule para H el índice de la media aritmética simple a partir de la información de la siguiente tabla:

t H_1 H_2 H_3
0 3 1 3
1 3,5 3 2
2 3 3 1
3 2,5 2 1
4 3 4 4
5 4 5 5
6 4,5 7 2

Solución.-

El primer paso será calcular los índices simples para los precios de cada uno de los componentes:

t H_1 H_2  H_3 I_{t/0}(H_1) I_{t/0}(H_2) I_{t/0}(H_3)
0 3 1 3 100 100  100,00
1 3,5 3 2 116,67 300    66,67
2 3 3 1 100 300    33,33
3 2,5 2 1 83,333 200    33,33
4 3 4 4 100 400  133,33
5 4 5 5 133,33 500  166,67
6 4,5 7 2 150 700    66,67

El índice complejo se obtiene calculando en cada momento la media aritmética simple de los índices simples:

t  H_1 H_2  H_3 I_{t/0}(H_1) I_{t/0}(H_2) I_{t/0}(H_3) I_{t/0}(H)
0 3 1 3 100 100  100,00 100
1 3,5 3 2 116,67 300    66,67 161,11
2 3 3 1 100 300    33,33 144,44
3 2,5 2 1 83,333 200    33,33 105,56
4 3 4 4 100 400  133,33 211,11
5 4 5 5 133,33 500  166,67 266,67
6 4,5 7 2 150 700    66,67 305,56

Podemos decir que el coste del producto es un 61,11% mayor en el momento que en el momento 0.

En el momento 2 se ha producido un incremento en el coste del producto del 44,44% del coste inicial y así sucesivamente.

Números índices complejos ponderados.

  • Los números índices complejos ponderados tienen en cuenta la importancia relativa de cada una de las magnitudes simples que componen el indice complejo.
  • Para ponderar estas importancias relativas debemos asignar a cada una de las magnitudes un peso que denominaremos wi, de forma que la suma de los pesos asociados a todas las magnitudes simples debe ser igual a la unidad, es decir,

\sum_{i=1}^k w_i=1

  • Estos pesos pueden variar también a lo largo del tiempo por lo que definiremos como wit al peso referido a la importancia relativa de la magnitud i en el instante t.

Índice de Laspeyres

Considerando de nuevo la magnitud compleja H, formada por k magnitudes simples H_i, el índice de Laspeyres se define como la media ponderada de los índices simples de las magnitudes, es decir,

L_{t/0} (H) = \sum_{i=1}^k w_{i0} I_{t/0} (H_i)

A la hora de definir los pesos, tendremos en cuenta únicamente la importancia relativa de la magnitud simple i en el instante 0.

Ejemplo de cálculo del número Laspeyres

Consideremos de nuevo el coste del producto H que depende de los costes de los componentes H_1, H_2H_3 y supongamos ahora que en el instante 0, la importancia relativa de cada componente en el coste total, viene dada por los siguientes pesos: (w_{10}=0,2; w_{20}=0,4w_{30}=0,4). Obtenga en esta situación el índice de Laspeyres.

t   H_1 H_2 H_3 I_{t/0}(H_1) I_{t/0}(H_2) I_{t/0}(H_3) L_{t/0}(H)
0 3 1 3 100 100  100,00  100,00
1 3,5 3 2 116,67 300    66,67  143,33
2 3 3 1 100 300    33,33    20,00
3 2,5 2 1 83,333 200    33,33    16,67
4 3 4 4 100 400  133,33    20,00
5 4 5 5 133,33 500  166,67    26,67
6 4,5 7 2 150 700    66,67    30,00

Lo habitual es que las ponderaciones de los precios se realicen en base a las cantidades empleadas. En este sentido, obtendremos las ponderaciones en el año base necesarias para el calculo del índice de Laspeyres mediante:

w_{i0} =\frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{i=1}^k p_{i0} q_{i0}}

Así consideraremos la importancia relativa de cada artículo en el año base. El índice de precios de Laspeyres será entonces:

L_{t/0}(H) = \sum_{i=1}^k w_{i0} I_{t/0} (H_i) = \sum_{i=1}^k \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{i=1}^k p_{i0} q_{i0}} \times \frac{p_{it}}{p_{i0}} = \frac{ \sum_{i=1}^kp_{it} q_{i0}}{\sum_{i=1}^k p_{i0} q_{i0}}

Índice de Paasche

Para la magnitud compleja H, formada por k magnitudes simples H_i, el índice de Paasche se define mediante,

P_{t/0}(H) = \sum_{i=1}^k  \frac{I_{t/0}(H)}{w_{it}}

La principal diferencia con el índice de Laspeyres está en las ponderaciones, ya que el índice de Laspeyres se refiere únicamente a las ponderaciones en el periodo base y el de Paasche toma en cuenta las ponderaciones en cada instante t.

Como ya hemos visto, lo habitual es que las ponderaciones de los precios se realicen en base a las cantidades empleadas. Ahora debemos calcular ponderaciones diferentes según el momento del tiempo, y lo haremos mediante:

w_{it} = \frac{p_{it} q_{it}}{\sum_{i=1}^k p_{it} q_{it}}

Así consideraremos la importancia relativa de cada artículo en el año considerado. El índice de precios de Paasche será entonces:

P_{t/0}(H) = \sum_{i=1}^k  \frac{\frac{p_{it}}{p_{i0}}}{\frac{p_{it}q_{it}}{\sum_{i=1}^k p_{it}q_{it}} }= \sum_{i=1}^k \frac{p_{it}\sum_{i=1}^k p_{it}q_{it}}{p_{i0}p_{it}q_{it}}=\frac{\sum_{i=1}^k p_{it}q_{it}}{\sum_{i=1}^k p_{i0}q_{it}}

Índice de Fisher

Dada una magnitud compleja H, formada por k magnitudes simples H i , el índice de Fisher se define como la raíz cuadrada del producto entre los índices de
Paasche y Laspeyres, es decir,

F_{t/0}(H) = \sqrt{L_{t/0}(H) \times P_{t/0}(H)}

Así, el índice de Fisher es en sí un promedio de los anteriores.

Ejemplo de números complejos ponderados

Dada la siguiente información sobre precios en euros y cantidades vendidas de una serie de artículos:

años productos
2015 2016 2017
P Q P Q P Q
Patatas 1 150 1,2 140 1,3 160
Judías 2 430 1,9 420 1,95 450
Aceite 5 300 4,8 350 5,1 360
Pescado 15 250 16 220 15,5 280

Obtenga los índices de Laspeyres, Paasche y Fisher para cada año.

Solución.- Índice de Laspeyres:

L_{t/0}(H) = \frac{ \sum_{i=1}^kp_{it} q_{i0}}{\sum_{i=1}^k p_{i0} q_{i0}}

Productos Años
2015 2016 2017  2015 2015 2016  2017
P Q P Q P Q P  \times Q P_0  \times Q_0 P_t  \times Q_0 P_t  \times Q_0
Patatas 1 150 1,2 140 1,3 160 150 150 180 195
Judías 2 430 1,9 420 1,95 450 860 860 817 838,5
Aceite 5 300 4,8 350 5,1 360 1500 1500 1440 1530
Pescado 15 250 16 220 15,5 280 3750 3750 4000 3875
L_{t/0}(H) 100   102,83   102,85   6260 6260 6437 6438,5

Solución.- Solución: Índice de Paasche:

P_{t/0}(H) = \frac{\sum_{i=1}^k p_{it}q_{it}}{\sum_{i=1}^k p_{i0}q_{it}}

Productos Años
2015 2016 2017  2015  2016  2017  2015  2016  2017
P Q P Q P Q P_i  \times Q_i P_i  \times Q_i P_i  \times Q_i P_{i0}  \times Q_i P_{i0}  \times Q_i P_{i0}  \times Q_i
Patatas 1 150 1,2 140 1,3 160 150 168 208 150 140 160
Judías 2 430 1,9 420 1,95 450 860 798 877,5 860 840 900
Aceite 5 300 4,8 350 5,1 360 1500 1680 1836 1500 1750 1800
Pescado 15 250 16 220 15,5 280 3750 3520 4340 3750 3300 4200
 P_{t/0}(H) 100 102,25 102,85 6260 6166 7261,5 6260 6030 7060

Solución: Índice de Fisher:

F_{t/0}(H) = \sqrt{L_{t/0}(H) \times P_{t/0}(H)}

Años
2015 2016 2017
Laspeyres 100 102,83 102,85
Paasche 100 102,25 102,85
Fisher 100 102,54 102,85