El modelo de regresión simple

El Modelo de Regresión Lineal Simple busca encontrar la recta de regresión que relaciona 2 variables X e Y de la siguiente forma:

Y_i=\beta_0 + \beta_1 \cdot X_i+\epsilon_i

donde:

Y es la variable dependiente.

X es la variable independiente.

\beta_0 y \beta_1 son los parámetros del modelo que debemos estimar.

\epsilon es el termino error.

Para poder aplicar el Modelo de Regresión Lineal simple se deben cumplir las siguientes hipótesis:

Hipótesis 1 (H1): Las variables independiente y dependiente (X e Y) son cuantitativas y aleatorias y presentan por tanto una relación aleatoria.

Hipótesis 2 (H2): La variable independiente explica la dependiente, es decir, X explica a Y y no al revés.

Hipótesis 3 (H3): La variable independiente se relaciona linealmente con la variable dependiente, X se relaciona linealmente con Y.

Hipótesis 4 (H4): El modelo esta correctamente especificado y la relación entre las variables es de causalidad o causa-efecto.

Hipótesis 5 (H5): β1 es constante, lo que implica que las variaciones de Y ante cambios de X presentan un valor estable para las distintas muestras.

Hipótesis 6 (H6): El tamaño muestral es suficientemente grande para afrontar la estimación de los parámetros del modelo.

Hipótesis 7 (H7): El término error es un término completamente aleatorio que sigue una distribución normal, de esperanza 0 (E\left[\epsilon_i\right]=0).

Hipótesis 8 (H8): La varianza del error es constante a lo largo de las observaciones del modelo (VAR\left[\epsilon_i\right]=\sigma^2).

Hipótesis 9 (H9): El término error no esta correlacionado entre los elementos del modelo y es independiente también de la variable explicativa.

Para estimar los parámetros del modelo buscaremos los valores de \beta_0 y \beta_1 que construyan una recta, de modo que la distancia de los puntos a ella sea la mínima posible.

MRS

Los estimadores por el método de mínimos cuadrados ordinarios para el modelo de regresión lineal simple son:

\hat{\beta_1}=\frac{COV(X,Y)}{VAR(X)}

\hat{\beta_0}=\bar{Y}-\hat{\beta_1} \cdot \bar{X}

Estos estimadores son insesgados y eficientes.

Ejemplo.-

Se plantea el estudio del salario de un individuo, encontrando el modelo que lo relaciona con su educación, medida a través de los años dedicados a su formación. Los datos son los siguientes:

Salario Bruto anual Años de formación
22.000 20
19.000 15
25.000 20
30.000 25
35.000 27
24.000 21
26.000 23
41.000 26
45.000 25
18.000 13
19.000 14
21.000 15

Calcular los estimadores por el método de mínimos cuadrados.